Construction d'une base de \({\Bbb R}^n\) par sélection des vecteurs indépendants et par le théorème de la base incomplète
On regarde la suite de vecteurs \(v,Av,A^2v,\ldots,A^nv\)
Il y a \(n+1\) vecteurs de \({\Bbb R}^n\), ces vecteurs sont donc liés
On cherche \(k\) le plus petit possible tels que \(v,Av,A^2v,\ldots,A^kv\) sont dépendants
(ce qui signifie que \(v,Av,A^2v,\ldots,A^{k-1}v\) sont indépendants) (\(k\geqslant1\) car \(v\) est non nul)
Donc il existe \(a_0,\ldots,a_{k-1}\) tels que \(A^kv=a_0v+\ldots+a_{k-1}A^{k-1}v\)
On applique le théorème de la base incomplète pour trouver des vecteurs \(w_k,\ldots,w_n\) tels que $$\underbrace{v,Av,A^2v,\ldots,A^{k-1}v,w_k,w_{k+1},\ldots,w_{n-1} }_{n\text{ vecteurs}}$$ est une base de \({\Bbb R}^n\)
Calcul du polynôme caractéristique de \(B\)
Par opérations élémentaires sur les vecteurs, on a : $$\begin{align}\operatorname{det}(B-X-\operatorname{Id})&=(-1)^{k+1}(a_k+a_1X,\ldots,a_{k-1}X^{k-1}-X^k)\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&&&\varnothing\\ &1\\ &&\ddots\\ \varnothing&&&1\end{pmatrix}\\ &=(-1)^{k+1}(a_k+a_1X,\ldots,a_{k-1}X^{k-1}-X^k)\end{align}$$